Entratoi in seminario a 12 anni, nel 1927 venne ordinato prete e inviato a Carcofaro, in Valsesia, dove rimase fino al 1934, anno in cui venne trasferito a Omegna in veste di vicario parrocchiale canonico. Accanto all'impegno pastorale, partecipò attivamente alla vita sociale del paese: fu assistente dell'Azione cattolica femminile e maschile, maestro della locale scuola di canto, della filodrammatica maschile.
Nel 1939 si iscrisse alla facoltà di "Ingnegneria su tecnologia meccanica tecnica" presso l'Università di Torino, che frequentò fino al terzo anno. Promosse l'istituzione dell'Istituto Tecnico Professionale di Omegna, di cui fu direttore e docente di scienze e matematica.
Durante la Guerra partecipò alla Resistenza, collaborando attivamente con le formazioni partigiane Beltrami e Di Dio, e si impegnò nel salvataggio di ebrei in collaborazione con il podestà di Orta Gabriele Galli.

Don Giuseppe Annichini fu impegnato attivamente nell'organizzare l'espatrio clandestino in Svizzera di ebrei, in collaborazione con il Podestà di Orta Gabriele Galli.
In particolare mise in salvo Elena Bachi, moglie di Roberto Levi, arrestato dalla SS il 15 settembre 1943 con il padre Mario: dopo averle procurato documenti falsi, da cui risultava essere sua nipote, don Giuseppe nascose Elena Bachi a Loreglia, in Val Strona, dove rimarrà nascosta con i suoi genitori fino al termine della guerra, lavorando come catechista presso la scuola del paese.
L’11 gennaio 1956 don Giuseppe ricevette dalla Comunita’ Israelitica di Genova un certificato di benemerenza “allo scopo di attestare la profonda riconoscenza verso coloro che non ebrei, in tanti episodi di eroismo, di solidarietà, di umana fratellanza, seppero dare il loro contributo di amore e di sacrificio verso i fratelli perseguitati.”